莫比乌斯环彩虹无限符号

(创建)
(更新)
标签3D 建模平面设计Pythonbuild123d 类别笔记
CC BY-NC-SA 4.0
本作品采用署名—非商业性使用—相同方式共享 4.0 协议国际版协议授权。

记录一个有趣的 3D 建模和渲染项目：莫比乌斯环构成的彩虹渐变无限符号。

⚓ 目标

我想要建模一个由莫比乌斯环构成的无限符号，我希望这个物体：

  1. 在俯视图下是一个完美的正圆形。
  2. 在前后视图和两个侧视图下都呈现出完美的无限符号（$\infty$）的形状。

为什么需要是正圆形？因为这样我就可以使用从原点开始，径向色相渐变的彩色光为该物体做照明，从而渲染出一个均匀的流光溢彩的无限符号。

径向色相渐变点状光源
径向色相渐变点状光源

⚓ 建模

我使用 Python 的 build123d 库来建模。这个库是一个基于 Open CASCADE 内核的 CAD 建模库，可以直接使用代码设计复杂的 3D 模型。

我在中途犯过很多的错误，要建模一个不规则的莫比乌斯环实际上并不容易，本文将直接展示一条正确的建模路径，并且会偶尔提一嘴我之前犯过的错误。

⚓ 预备工作

首先先导入 build123d 和用来调试的 ocp_vscode 库，然后先定义一些参数，一些参数的意义将在后面被提到。

from build123d import *
from ocp_vscode import *
import math

class Config:
    def __init__(self):
        self.radius = 20.0
        self.max_height = self.radius
        self.width = 5.0
        self.thickness = self.width
        self.segments = 360

cfg = Config()

⚓ 主路径

我首先选择建模一条主路径，也就是整个物体的中心线。这个路径需要满足前面提到的两个条件，俯视图下是正圆，且测试图看起来是一个无线符号。

⚓ 第一象限

将主路径这个正圆的圆心放在原点，简单思考就会意识到，这条主路径在四个象限都是相似的。 所以，我只需要建模第一象限的路径，然后通过镜像/旋转等操作就可以得到完整的路径了。

def build_q1_line():
    q1_xy = CenterArc((0, 0), cfg.radius, 0, 90)
    wall_face = sweep(q1_xy, Line((0, 0, 0), (0, 0, cfg.max_height)))
    q1_plane = Plane.XY * Pos(cfg.radius / 2, cfg.radius / 2)  * Rotation(Z=-45) * Rotation(X=45)
    splitted = split(wall_face, bisect_by=q1_plane, keep=Keep.BOTH)
    edges_diff = splitted.edges() - wall_face.edges()
    assert len(edges_diff) == 1
    return edges_diff[0]

q1_line = build_q1_line()

我们一步一步来看：

  1. 首先我创建了一个第一象限的圆弧 q1_xy，这个圆弧是主路径在 XY 平面上的投影。并使用 sweep 将圆弧抬升成一个面 wall_face。

    第一象限的圆弧面
    第一象限的圆弧面

  2. 第二步，我构造了一个斜 45 度向上的 plane，并用这个 plane 切割之前的面。这个 plane 与第一象限的圆弧的两个端点相交。因此切割后，切割线两端的端点一定刚好落在坐标轴上。

    切割后的圆弧面
    切割后的圆弧面

  3. 第三步，只保留这条切割线，这条切割线就是第一象限的主路径了。因为切割后只会多出一条边，因此直接计算切割前后的边的差集就可以得到这条边了。

    第一象限的主路径（斜视图）
    第一象限的主路径（斜视图）
    第一象限的主路径（前视图）
    第一象限的主路径（前视图）

    可以看到，前视图呈现一个 1/4 无限符号。

⚓ 四象限组合

接下来，通过镜像和旋转操作，拼合出一个完整的圈。

def build_main_path():
    q2_line = mirror(q1_line, Plane.XY).rotate(Axis.Z, 90)
    half_circle = q1_line + q2_line
    return half_circle + half_circle.rotate(Axis.Z, 180)

main_path = build_main_path()

  1. 第一步，将第一象限路径镜像到下方，然后旋转 90 度到第二象限，并拼接成一个半圆。

    第一二象限的主路径
    第一二象限的主路径

  2. 第二步，将这个半圆再旋转 180 度，并拼接到原来半圆的后面，就得到了完整的主路径。

    完整的主路径（斜视图）
    完整的主路径（斜视图）
    完整的主路径（前视图）
    完整的主路径（前视图）
    完整的主路径（顶视图）
    完整的主路径（顶视图）

    可以看到，前视图呈现一个无限符号，顶视图呈现一个正圆形。

⚓ 莫比乌斯环

接下来，我需要在这个主路径的基础上建模出一个莫比乌斯环。也就是说，我需要在主路径的每个位置构造一个横截面，并且让这个横截面沿着主路径进行旋转 180 度的扭转。

你可能会想到，我可以先构造一个横截面，然后让这个截面跟随主路径进行 sweep，直接生成一个莫比乌斯环。理论上这是可行的，但是在 build123d 里就不太可行。在 build123d 里，要控制这个截面进行 180 度的旋转，就需要生成一条 binormal 路径作为参考来进行控制。但是，由于主路径和 binormal 路径都非常不规则，内核生成的 binormal 路径和主路径的对应关系是错误的，导致生成的莫比乌斯环会出现宽度和厚度的扭曲，这不完美。

我的做法是：

  1. 直接计算坐标，用样条生成整个环的边界线，它将形成成一条闭合的 Wire。
  2. 但是由于莫比乌斯环的特殊性（具体原因其实我不知道），build123d 并无法从这条 Wire 执行 Face.make_surface 来生成一个表面。
  3. 所以我将这条边界线切分为两个部分，变成两个闭合的 Wire，每个 Wire 都可以执行 Face.make_surface 来生成一个面。
  4. 最后将这两个面拼接在一起，就得到了完整的莫比乌斯环。

⚓ 边界线

我分为两部分来生成这条边界线，一次生成一半，然后合并。

def rotating_spline(begin_angle=0.0, distance=cfg.width / 2.0):
    pts = []
    for i in range(cfg.segments + 1):
        position = main_path @ (i / cfg.segments)
        circle_radian = math.radians(360.0 * i / cfg.segments)
        rotation_radian = begin_angle + circle_radian / 2.0
        radial = position.normalized()
        normal = position.cross(Vector(0, 0, 1))
        up = normal.cross(radial).normalized()
        offset = (radial * math.cos(rotation_radian) + up * math.sin(rotation_radian)) * distance
        pts.append((position + offset).center())
    return Spline(pts)

line1 = rotating_spline()
line2 = rotating_spline(math.pi)
  1. 我用样条生成边界线，边界上的每个点都是在主路径上偏移一个 offset 向量得到的。
  2. offset 是由一个角度 rotation_radian 控制的，这个角度从 begin_angle 开始，随着主路径的前进而不断旋转，旋转一周后旋转 180 度。
  3. 一次生成一圈，第一圈 rotation_radian 从 0 度开始，第二圈 rotation_radian 从 180 度开始，因为每圈过后 rotation_radian 变化 180 度，因此两圈就会首尾相接。
边界线的第一部分
边界线的第一部分
边界线的第二部分
边界线的第二部分
完整的边界线
完整的边界线

其中一个有意思的点是角度 rotation_radian 的参照系。我将这个角度的 0 度设置为原点到主路径的向量 radial。也就是说，rotation_radian 的值为 0 度时，偏移的方向是直接朝向主路径的径向的。角度的 90 度位置设置为 up 向量，up 与 Z 轴和 radial 向量共面，且 up 与 radial 垂直。

这里我在写代码时，发现立体几何和线性代数有点还给老师了，不知道该怎么算出 up 向量。向 LLM 请教一番后，才想起来法向量这个东西。

  1. 计算平面的法向量，可以计算平面上两个向量的叉积，就能得到垂直于这两个向量的第三个向量。
  2. 首先算出 Z 轴和 radial 构成的平面的法向量 normal，然后再计算法向量与 radial 的叉积，就得到了 up 向量了，up 向量一定在该平面上，且与 radial 向量垂直。
  3. 利用两次右手定则，使得 up 朝上方即可。

⚓ 环面

我将两条边界线 line1 和 line2 切分成两部分，得到四条线段，然后将这些线段拼接成两个闭合的 Wire，为每个 Wire 分别执行 Face.make_surface 生成一个非平面，最后将这两个面拼接在一起，就得到了完整的莫比乌斯环面。

line11, line12 = line1.split(Plane.XZ, keep=Keep.BOTH)
line21, line22 = line2.split(Plane.XZ, keep=Keep.BOTH)
connect_line1 = Line(line11 @ 0, line21 @ 0)
connect_line2 = Line(line11 @ 1, line21 @ 1)
wire1 = Wire([line11, line21, connect_line1, connect_line2])
wire2 = Wire([line12, line22, connect_line1, connect_line2])
face1 = Face.make_surface(wire1)
face2 = Face.make_surface(wire2)
infinity_face = face1 + face2
切分后拼接得到的第一个环
切分后拼接得到的第一个环
切分后拼接得到的第二个环
切分后拼接得到的第二个环
完整的莫比乌斯环面
完整的莫比乌斯环面

⚓ 体积

最后，只要使用 thicken 操作将这个面加厚，就得到了一个完整的有体积的莫比乌斯环了。在 build123d 中，thicken 操作可以作用于非平面。

infinity = thicken(infinity_face, cfg.thickness / 2.0, both=True)
方形截面的莫比乌斯环（斜视图）
方形截面的莫比乌斯环（斜视图）
方形截面的莫比乌斯环（顶视图）
方形截面的莫比乌斯环（顶视图）
方形截面的莫比乌斯环（前视图）
方形截面的莫比乌斯环（前视图）
方形截面的莫比乌斯环（左视图）
方形截面的莫比乌斯环（左视图）

可以看到，两个侧视图展现出了不同的扭转角度，可以渲染出不同的效果。

在最开始我设置的参数中，thickness 等于 width 的值，这样就得到了一个方形截面的莫比乌斯环了。我还将 thickness 的值设置为 width 的一半，得到一个矩形截面的莫比乌斯环。

矩形截面的莫比乌斯环
矩形截面的莫比乌斯环
矩形截面的莫比乌斯环（顶视图）
矩形截面的莫比乌斯环（顶视图）
矩形截面的莫比乌斯环（前视图）
矩形截面的莫比乌斯环（前视图）
矩形截面的莫比乌斯环（左视图）
矩形截面的莫比乌斯环（左视图）

在矩形截面的版本中，前视图的左侧会略小于右侧，导致视觉不平衡。但左侧截面中，位于前方的部分宽度更窄，所以我利用透视相机，把更窄的这部分放在更近的位置（因此看起来更大），以达到左右视觉对称。

⚓ 渲染

目前我只做了一个比较基础的渲染。直接将模型导入 Blender，设置一系列从原点开始的径向色相渐变光源，就可以渲染出彩虹的效果了。我取巧没有试图通过材质（还没学会）使得这个莫比乌斯环呈现出彩虹效果，而是使用光源间接赋予这个环色彩。

我一共采用了三种光源：

  1. 上下各一个点光源照亮模型内侧；
  2. 上下各一个面光源照亮模型的上方和下方；
  3. 一个圆柱形的光源，照亮模型的外侧。

放置如下，所有被选中（橙色）物体都是光源。

Blender 中的光源放置
Blender 中的光源放置

每个光源的配置都大差不差，以面光源为例。使用坐标作为输入，构造一个径向渐变纹理即可。

面光源的 shader 配置
面光源的 shader 配置

最后调整好相机位置，模型的材质，以及色彩管理的设置，就可以渲染出最终的效果了。

⚓ 最终效果

那么最后，请看渲染结果。

莫比乌斯环彩虹无限符号（方形截面版本）
莫比乌斯环彩虹无限符号（方形截面）
莫比乌斯环彩虹无限符号（矩形截面版本）
莫比乌斯环彩虹无限符号（矩形截面）
方形截面的莫比乌斯环（前视图渲染）
莫比乌斯环彩虹无限符号（方形截面，前视图）